Christian Paul

Peinture décorative

somme des inverses des coefficients binomiaux

Series with a reciprocal of the central binomial coefficient. Les coefficients pour 0 ≤ k ≤ n figurent à la n-ième ligne.Le triangle est construit en plaçant des 1 aux extrémités de chaque ligne et en complétant la ligne en reportant la somme des deux nombres adjacents de la ligne supérieure. Luzak a dit que ma démo avec la partie entière est inutilement compliquée, je connais que cette façon de faire. 2\sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} What are these shiny wrist plates worn by astronauts in the SpaceX crew capsule. $$, $$ @Razes : il ne s'agit pas de majorer les coefficients binomiaux  mais de les minorer, on fait la somme des inverses. $$\begin{eqnarray} What happens to where umbilical lines are connected when a rocket lifts off? PCSI2 \2017-2018 Laurent Kaczmarek 16 . D'accord Luzak j'ai du faire une erreur de calcul. @Luzak Le problème étant que j'ai toujours pas compris ceci : Les coefficients du binôme vont en croissant pour k allant de 0 à d'où l'inégalité ci dessus pour  k allant de 0 à . Je trouve que :   est croissante sur En effet : Ce quotient est supérieur ou égal à 1 pour : La fonction est croissante pour tous les entiers compris entre 0 et et on a donc :   Elle est croissante en particulier pour : Ainsi  :   En distinguant les cas pairs et impairs j'ai montré que : Alors :   Conclusion : est bien croissante sur donc à fortiori sur Par ailleurs : Posons : on a alors : On a : Soit Finalement : Et là je bloque pour montrer que est croissante sur, Y a un problème que je ne comprends pas : je trouve  que est donc décroissante sur Soit :   donc :   Je prends : et Donc Donc :   Si n est pair :   Si n impair : Donc : Finalement : Donc : car f est croissante sur Soit : avec est donc décroissante sur. Like @Sasha, one starts with a beta representation, namely, Active 5 months ago. \begin{align} and therefore \begin{align} Il faudra sans doute faire une refresh de la page. En effet, la condition sur les indices i,j>0 et i+j=n se traduit par un seul indice i variant de 0 à n et on remplace j par n-i. Tu aurais pu écrire les coefficients pour une ligne du triangle de Pascal et voir tout seul une bonne minoration ! macOS Big Sur creates duplicate versions of files. u_n(x)=\frac{(1+z)^{n+1}-(1-z)^{n+1}}{2^{n+1}z}=\frac1{2^{n}}\sum_k{n+1\choose 2k+1}z^{2k}. Ok je vais suivre votre méthode mais une question : Comment savez vous que il faut un "cran" de plus et faire apparaitre la somme de 2 à n-2 et non de 1 à n-1 ? $$ Note that $u_n(x)$ is a geometric series, hence \begin{align} $$ $$ \begin{align} 2. Et en plus je ne vois pas ta démonstration de : tu apprendrais plus en le faisant que de recopier ad nauseum des résultats lus ici ou là. Hence &=\frac{n+1}{2^{n+1}}\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{7}\\ (n-2k+1)!} $$ Simplifier sin(2x) sin(x)pour tout x 6˘0[…]. Mais si c'est pour trouver je ne vois pas d'issue. &=& \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} 2^{2k-n-1} \left(\left((2 n+1) \binom{n}{2k-1}-\binom{n}{2k}\right)+\binom{n+1}{2k}\right) \underbrace{\int_{-1/2}^{1/2} \frac{\mathrm{d} u}{4 u^2} u^{2 k}}_{\frac{1}{4^k} \frac{1}{2k-1}} \\ \end{align} Will my wooden bridge withstand the weight of my small truck? $(7)$: multiply both sides by $\frac{n+1}{2^{n+1}}$, For $2\le k\le n-2$, we have that $\binom{n}{k}\ge\binom{n}{2}$. Does the Protection from Evil and Good spell kill the host of an Intellect Devourer? Is the sequence of sum of $\binom{n}{k}^{-1}$ bounded? }$, and using, for $k>0$: Si l'égalité est vrai sur comment montrer qu'elle l'est sur : On sait que :  . $$ A noter que les coefficients binomiaux sont les coefficients dans les termes du développement de la somme (a+b)^n donc sont forcément des entiers. \sum_{k=0}^n\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}} Hard summation involving binomial and quadratic, Upper bound on sum of binomial coefficients, Identity of binomial coefficients with a series, Convergence of partial sums and their inverses, Combinatorial identity with binomial coefficients, Multiple sum involving binomial coefficients, Proving Binomial identity involving algebraic expression, Bounding limit of sum of binomial coefficients. Remarque : en appliquant l’ident… La formule de Vandermonde (on dit aussi l’identité de Vandermonde) terminera ce post. C’est : Nous allons voir comment la formule du pion et la formule de Vandermonde peuvent être utilisées. $$\frac{1}{\binom{n}{k}} \leq \frac{1}{\binom{n}{2}} = \frac{2}{n(n-1)}.$$ salut pour simplifier je note b(n, k) le coef bin ... avec 0 =< k =< n b(n, 0) = b(n, n) = 1 et pour 0 < k < n : b(n, k) > n/2 <=> 1/b(n, k) < 2/n donc u(n) =< 2 + (n - 2)2/n bon c'est insuffisant  ... donc reprenons : b(n, 0) = b(n, n) = 1 b(n, 1) = b(n, n-1) = n et 1 < k < n - 1 => b(n, k) >= n(n - 1)/2 <=> 1/b(n, k) =< 2/n(n - 1) et c'est fini ... Oui carpediem c'est fini (encore qu'il faille tenir compte des inégalités de ce genre) mais IL refuse d'utiliser qu'il ne sait pas démontrer. &=\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{3}\\ Pour la majoration je trouve pas la même chose que vous : donc donc Alors : D'où : Soit : Bonjour, Quand je vois ta majoration de je me suis dit que c'est trop large. \sum_{k=1}^n{n\choose k}^{-1}=S_n-1=\frac1{2^n}\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}2\rfloor}{n+1\choose 2k+1}\frac{n+1}{2k+1}-1. Je pense plutôt à une décroissance à partir de . Au passage, et surtout parce que nous allons l’utiliser ci-après… Un petit mot sur la formule du pion. $(3)$: Add $(1)$ and $(2)$ and sum $\vphantom{\frac{()}{()}}$ &=\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{3}\\ luzak re : Somme des inverses des coefficients binomiaux 13-09-18 à 16:57 Ce n'est pas ta démonstration pour que je critiquais (on peut la simplifier mais ce n'est pas un problème). En fait je pensais à un encadrement et utiliser le théorème des gendarmes : je voulais poser : et voir si cette fonction est croissante ou décroissante sur afin de majorer la somme. &=\overset{\substack{k=0\\k=n\\\downarrow\\[3pt]\,}}{2\vphantom{\frac2n}}+\overset{\substack{k=1\\k=n-1\\\downarrow\\[3pt]\,}}{\frac2n}+\sum_{k=2}^{n-2}\frac1{\binom{n}{k}}\tag8\\ $(4)$: Add $\frac1{\binom{n}{n\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{0}}=2$ to both sides \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{k+1}}\right) Finding $\lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=0}^n { n \choose k}^{-1}$. Is the sequence of sum of $\binom{n}{k}^{-1}$ bounded? $$ En mathématiques, le triangle de Pascal, est un arrangement géométrique des coefficients binomiaux dans un triangle. Merci de me l'avoir signalé. \end{align} $$. How to calculate the sum of sequence $$\frac{1}{\binom{n}{1}}+\frac{1}{\binom{n}{2}}+\frac{1}{\binom{n}{3}}+\cdots+\frac{1}{\binom{n}{n}}=?$$ How about its limit? \frac{1}{\binom{n}{k}} = k \operatorname{Beta}(k,n-k+1) = k \int_0^1 (1-x)^{k-1} x^{n-k} \mathrm{d} x $$. &=& \sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n+1}{2}\rfloor} \frac{1}{2^{n}} \frac{1}{2k-1}\frac{(n+1)! Modified the title (note that there is no, $$ When interested in the limit only, just observe that for $2 \leq k \leq n-2$, we have &=2+\frac{n+1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{\binom{n-1}{k}}\tag{4}\\ Ok Luzak j'abandonne les parties entières et je suis votre méthode. $$ Si elle  est croissante   tu cherche un majorant ; Si elle est décroissante tu cherche un minorant. How accurate are the wormhole visualizations in Interstellar? Is $C^{i}_j$ meant to be the binomial coefficient $i$ choose $j$, $\binom{i}{j}$, or a constant $C_n$ raised to different powers? It only takes a minute to sign up. I am struggling due to insufficient background in a graduate course and feel like a moron. }$, $\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}=\frac{n}{k+1}\frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)! En effet Cji est nul quand on n’a pas 0≤i≤j, par convention. Le produit donne des termes en xn pour les produits des xi et xj avec i+j = n. Donc le coefficient correspondant à C2nn est la somme des coefficients de tous ces termes correspondant à i+j=n. \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac1{\binom{n}{k\vphantom{+1}}}+\frac1{\binom{n}{k+1}}\right) &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac{2^k}{k}\tag{6}\\ \cdot k! $$ Si tu as un résultat en majorant fais-le ! \end{align} }$ Using the change of variables $x=\frac12(1+z)$ with $-1\leqslant z\leqslant 1$ yields Je comprends pas grand chose. k se lit de gauche à droite sur la n-ième ligne en partant de 0 jusqu'à n.. What are jazz pianists playing in the background? $$ @darijgrinberg: $\left|\frac1{n-k}-\frac1n\right|=\frac{k}{n(n-k)}\le\frac{n^{1/3}}{n(n-n^{1/3})}$ because it's biggest when $k$ is.

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